Деление

Чтобы поделить на 5, умножьте на 2 и поделите на 10.

Делится ли:

Признаки делимости на числа, кратные 2 и 3

• На 3: сумма цифр числа делится на 3. При сложении цифры 3, 6 и 9 можно игнорировать.
• На 6: число делится на 2 (т.е. оно четное) и на 3.
• На 9: сумма цифр числа делится на 9. При сложении цифру 9 можно игнорировать.
• На 4: последние две цифры образуют число, которое делится на 4.
• На 8: последние три цифры образуют число, которое делится на 8. Сначала проверьте, что число делится на 4. Дальше, если количество сотен четное, то две последние цифры числа должны делится на 8, а если нечетное — то последние две цифры должны делится на 4, но не на 8.

Делимость на 7

• Используется общий метод, то есть последовательно отбрасываются числа, кратные 7. Например, число 7713 не делится на 7, так как после отбрасывания 7700 (делится на 7), остаток 13 не делится на 7.
• Стоит запомнить, что 1001 = 7 × 11 × 13. Поэтому для определения делимости на 7 четырехзначных чисел можно отбрасывать числа, кратные 1001. Например, число 5026 делится на 7, так как после отбрасывания 5005 остается число 21, которое делится на 7. Этим же приемом можно пользоваться при определении делимости на 11 и 13.
• Также на 7 делятся числа 98 и 105, чем можно воспользоваться для отбрасывания сотен трехзначных чисел (добавляя к остатку соответствующее число двоек или вычитая из него соответствующее количество пятерок).

Чему равен остаток от деления:

Комбинируйте два приема:

• Отбросьте цифры и числа, которые делятся кратно.
• Определите, на сколько единиц нужно изменить число, чтобы выполнились признаки делимости из примера Б.1.

Вычислите целую часть и остаток:

Вычислите целую часть и остаток:

Деление — операция, обратная умножению. Выучите наизусть таблицу умножения до 19×9 — это позволит быстро делить на числа, меньшие 20. Для тренировки используйте пример:

Вычислите целую часть и остаток:

Деление на 11 проще всего выполнить обычным способом, «в столбик».

• При делении четырехзначного числа сначала определите число сотен в ответе, поделив первые две цифры числа на 11. Дальше работайте с остатком и второй парой цифр.
• Полезно помнить, что 1001 = 7 × 11 × 13 = 91 × 11. Например, при делении 1023 на 11 сразу получаем 93.

Трехзначные числа можно научиться делить на 11 сразу, если помнить правило умножения двузначного числа на 11. Например:

• 577 : 11 = 52 (5). Сразу видно, что 572 делится нацело на 11 (5 + 2 = 7) и дает 52.
• 642 : 11 = 58 (4). Сразу видно, что 638 делится нацело на 11 и дает 58 (5 + 8 = 13).

При делении на 13 полезно помнить:

• 1001 = 7 × 11 × 13 = 77 × 13.
• 104 = 8 × 13.

Алгоритм деления на 13 на примере числа 6357:

• Сначала воспользуемся тем, что 1001 = 7 × 11 × 13. Значит, 6006 : 13 = 42 × 11 = 462 (используем правило умножения на 11).
• Далее, нужно поделить 357 − 6 = 351 на 13. Так как 104 = 8 × 13, то 312 : 13 = 24.
• Остается поделить 351 − 312 = 39 на 13, что дает 3.
• Складываем, получаем ответ: 489.

Иногда проще делить обычным способом, «в столбик», например, 5265 : 13 = 405, так как 52 : 13 = 4, 65 : 13 = 5.

При делении на 15:

• Определите число сотен в ответе, поделив первые две цифры четырехзначного числа на 15.
• Оставшееся число умножьте на 2, затем поделите на 30. Остаток от этой операции поделите на два.

При делении на 17 полезно помнить:

• 102 = 6 × 17.
• 1020 = 60 × 17.
• 1003 = 59 × 17.

Алгоритм деления на 17 на примере числа 4493:

• Сначала определим число сотен в ответе: 44 : 17 = 2 (10).
• При делении 1093 на 17 используем то, что 1020 : 17 = 60, а 73 : 17 = 4 (5).
• Складываем, получаем ответ: 264 (5).

Иногда проще делить обычным способом «в столбик», например, 3572 : 17 = 210 (2), так как 34 : 17 = 2, 172 : 17 = 10 (2).

При делении на 19 полезно помнить: 100 : 19 = 5 (5).

Алгоритм деления на 19 на примере числа 4126:

• Сначала определим число сотен в ответе: 41 : 19 = 2 (3).
• Чтобы поделить 326 на 19, воспользуемся тем, что 100 : 19 = 5 (5), поэтому 300 : 19 = 15 (15), а 41 : 19 = 2 (3). Значит, 326 : 19 = 17 (3).
• Складываем, получаем ответ: 217 (3).

Иногда проще делить обычным способом «в столбик», например, 1938 : 19 = 102.

При делении на четное число сначала определите число сотен в ответе, поделив первые две цифры четырехзначного числа на делитель.

Для оставшегося числа либо сократите делимое и делитель на 2 и дальше делите на однозначное число, либо используйте свойства:

• 96 = 8 × 12.
• 96 = 6 × 16.
• 98 = 49 × 2 = 7 × 14.
• 90 = 18 × 5.

Примеры:

• 2149 : 12 = 1 (сотня) + 9 × 8 + (9 × 4   + 49)/12 = 179 (1).
• 2149 : 18 = 1 (сотня) + 3 × 5 + (3 × 10 + 49)/18 = 119 (7).

Здесь удобно применять метод округления (до 100). Например, нужно поделить 4535 на 94.

• В первом приближении ответ — число сотен в делимом (45).
• Число 100 больше 94 на 6. Чтобы посчитать следующее приближение, умножьте число сотен делимого на 6 и добавьте две последние цифры: 45 × 6 + 35 = 305.
• Поделите его на 94 тем же способом: 305 : 94 = 3 (3×6+5) = 3 (23).
• Сложите ответы. Итого: 4535 : 94 = 48 и 23/94.

Иногда таким же способом удобно делить на 89 (так как легко умножать на 11 в промежуточных вычислениях).

В этом случае также удобно применять метод округления. Например, нужно поделить 3426 на 29.

• Округлите делитель в большую сторону (из 29 получаем 30).
• Поделите на 30 и вычислите остаток: 3426 : 30 = 114 (6). Это уже дает приближенный ответ — примерно 114.
• Чтобы посчитать следующее приближение, сложите ответ и остаток: 114 + 6 = 120.
• Поделите на 30 и вычислите остаток: 120 : 30 = 4 (0). Таким образом, целая часть ответа равна 114 + 4 = 118. А остаток равен сумме последнего ответа (4) с последним остатком (0), то есть 4. Итого: 3426 : 29 = 118 и 4/29.

Метод округления можно применять и в этом случае.

Пример деления 6742 на 48 методом округления (до 50):

• Первое приближение: 67 × 2 = 134.
• Новое делимое: 134 × 2 + 42 = 310.
• Второе приближение: 134 + 6 = 140 (число 6 — это 300:5).
• Остаток: 6 × 2 + 10 = 22.
• Ответ: 6742 : 48 = 140 (22).

По мере освоения метода им можно также пользоваться при делении на числа, заканчивающиеся на 5 и 6 (что сложнее, так как требует умножения на 5 и 4 в промежуточных вычислениях).

При делении на числа, кратные 11:

• Если делимое четырехзначное, то сначала определите число сотен в ответе. Для этого поделите первую пару цифр делимого на делитель. Дальше работайте с остатком от этого деления и второй парой.
• Сократите числитель и знаменатель на 11. Обычно это нетрудно, так как на 11 легко делить, и при этом делимое сокращается на один разряд. Если делимое не делится на 11, отбросьте от него несколько единиц, которые потом можно будет добавить в остаток.
• Далее делите на оставшийся множитель исходного делителя.

При делении на 33 иногда удобнее умножить делимое и делитель на 3. Тогда число сотен в новом делителе сразу дает приближенный ответ.

Пример 1. Деление 4359 на 33.

• Сначала определяем число сотен в ответе: 43 : 33 = 1 (10). Далее работаем с числом 1059.
• Умножим делимое и делитель на 3: 1059 : 33 = 3177 : 99. Первое приближение равно числу сотен в новом делителе: 31. Остаток — 31 + 77 = 108. Таким образом, 3177 : 99 = 32 и 9/99.
• Ответ: 132 и 3/33 (остаток приведен к исходному делителю 33).

Иногда проще сократить не на 11, а на другой множитель делителя.

Пример 2. Деление 6230 на 55.

• Сократим делимое и делитель на 5 (для делимого — отбросим ноль и умножим на 2): 6230 : 55 = 1246 : 11.
• Делим 1246 на 11 «в столбик», получаем 113 и 3/11.
• Ответ: 113 и 15/55 (остаток приведен к исходному делителю 55).

Числа, заканчивающиеся на 1, как правило, проще всего делить «в столбик».

В этом случае можно применить метод округления из примера Г.3, деление «в столбик» или метод сокращения на 5, как описано здесь.

Пример. Деление 8117 на 65:

• Если делимое четырехзначное, то сначала определите число сотен в ответе. Для этого поделите первую пару цифр делимого на делитель. Дальше работайте с остатком от этого деления и второй парой. В данном случае: число сотен — 1, новое делимое — 1617.
• Округлите делимое вниз до десятков и сократите его на 5, то есть поделите на 10 и умножьте 2: 1610 : 5 = 161 × 2 = 322.
• Поделите результат на делитель, также сокращенный на 5: 322 : 13 = 24 и 10 в остатке.
• Определите остаток: 7 + 10 × 5 = 57. Таким образом, 8117 : 65 = 124 и 57/65.

Если делитель — 25, например, при делении 3268 на 25:

• Умножьте сотни делимого на 4: 32 × 4 = 128.
• Поделите две последние цифры делимого на 25 и посчитайте остаток: 68 : 25 = 2 и 18 в остатке.
• Сложите два ответа: 3268 : 25 = 130 и 18/25 (т.е. 130,72).

Если делитель — 75, то поделите сначала на 25, затем на 3.

• Первым делом определите и запомните число десятков в ответе — это позволит избежать крупной ошибки. Для этого поделите первые две цифры делимого на делитель. Например, при делении 943 на 34, количество десятков в ответе — 2, а при делении 325 на 43 — 0 (32 меньше 43).
• Попытайтесь применить методы из упражнений Г.1–Г.6, а если они не подходят, делите обычным способом, «в столбик».
• Если делитель — кратное небольшого числа, попробуйте сократить на него делимое и делитель. При этом, если делимое не делится на это число, отбросьте от него нужное количество единиц, чтобы делилось (затем учтите их при расчете остатка). Для двузначного числа нетрудно определить, разлагается ли оно на множители — для этого нужно проверить делимость на числа 2, 3, 5 и 7.

• Первым делом определите и запомните число сотен в ответе — это позволит избежать крупной ошибки. Для этого поделите первые две цифры делимого на делитель.
• Попытайтесь применить методы из упражнений Г.1–Г.6, а если они не подходят, делите обычным способом, «в столбик».
• Если делитель — кратное небольшого числа, попробуйте сократить на него делимое и делитель. При этом, если делимое не делится на это число, отбросьте от него нужное количество единиц, чтобы делилось (затем учтите их при расчете остатка). Для двузначного числа нетрудно определить, разлагается ли оно на множители — для этого нужно проверить делимость на числа 2, 3, 5 и 7.